Analisi del trasferimento della quantità di moto durante il collasso dei piani superiori del WTC1

di Gordon Ross

Questo documento esamina le fasi di carico elastico e di deformazione plastica delle colonne del WTC1 dopo l’impatto degli ultimi 16 piani dell’edificio su quelli sottostanti ed il trasferimento della quantità di moto dopo la collisione.

Viene quindi derivata una equazione di bilancio energetico che mostra esserci un deficit di energia che avviene prima del completamento della fase di snervamento il quale non avrebbe permesso al collasso di proseguire, sotto le ipotesi formulate in questo documento.

Consideriamo un modello in cui la sezione superiore, comprendente 16 piani, in seguito al collasso di un piano cominci a cadere per effetto della forza di gravità. Sappiamo che la distanza tra due piani consecutivi è pari a 3,7 metri e che il peso della sezione superiore è stata stimata essere 58000 tonnellate ( [1] ).

Come semplificazione, peraltro conservativa, trascuriamo le perdite di energia ed in particolare quelle dovute alla resistenza residua delle colonne in cedimento della sezione rimossa; in base a questi dati possiamo stimare una velocità al momento dell’impatto pari a 8,5 m/s ed una energia cinetica pari a 2,1 GJ.

Al momento dell’impatto con la sezione sottostante, la massa in caduta trasmette una tensione che crescendo da zero aumenta fino alla tensione di snervamento delle colonne del piano impattato ( questa tensione verrà trasmessa anche alle colonne al di sotto del piano urtato direttamente )

Bazant/Zhou [1] mostrano, nella loro analisi, che il comportamento elastico e plastico di una colonna di acciaio, sottoposta ad un carico di punta dinamico consista in tre fasi distinte:

Esse possono essere visualizzate in un grafico tensione/deformazione e consistono in una fase iniziale elastica, una di snervamento ed una rapida fase di deformazione plastica.

1. Fase elastica mostra una relazione lineare tra carico e deformazione sino al limite di tensione elastica ( par l’acciaio la massima deformazione elastica è circa lo 0,2% della lunghezza iniziale )
2. Fase di snervamento : permette che sia applicato lo stesso carico sino a quando la deformazione verticale raggiunge il 3%, punto in cui la colonna inizia a formare dei punti di imbozzamento.
3. Fase di deformazione : superata la tensione di snervamento, la tensione necessaria a continuare la deformazione subisce una forte riduzione.

Nel caso del WTC possiamo supporre una lunghezza delle colonne pari a 3,7 metri quindi una lunghezza di snervamento pari 11 cm ( il 3% di 3,7 m ); trascurando la resistenza delle colonne stesse durante la deformazione e assumendo una velocità del carico applicato pari a circa 8,5 m/s stimiamo che il tempo necessario a completare la fase di snervamento è pari a 13 ms.

La velocità dell’onda di propagazione attraverso un un materiale generico è data dalla formula generale di propagazione d’onda:

per l’acciaio strutturale la velocità di propagazione dell’onda è dell’ordine di 4500 metri al secondo.

Durante la fase di snervamento, la forza d’impatto si propaga per circa 13 millisecondi alla velocità di 4,5 Km/s percorrendo 60 metri cioè circa 16 piani.

I piani interessati dall’onda avrebbero quindi subito essi stessi una deformazione ( di tipo elastico ) e proporzionale alla tensione di snervamento applicata al piano impattato.

Una deformazione di tipo elastico provoca una deformazione massimale di circa lo 0,2% quindi con colonne lunghe 3,7m , la deformazione elastica massima corrisponde a circa 7mm.

Stimiamo la deformazione complessiva pari 5,6 cm ( ) : infatti le colonne vicino al punto di impatto subiranno una deformazione elastica massimale mentre quelle appena raggiunte dall’onda non subiranno deformazione ( assumiamo implicitamente che la deformazione vari in modo lineare nei piani interessati dall’onda )

Questo secondo risultato ci porta a correggere l’ipotesi iniziale secondo cui il blocco impattante avrebbe dovuto percorrere 11 cm ( lunghezza di snervamento delle colonne ) in quanto la deformazione dei piani sottostanti provoca di fatto una compressione dell’intera struttura pari a ulteriori 5,6 cm per un totale di quasi 17 cm. La durata della fase di snervamento può essere stimata con maggior precisione pari a 20 ms. Poichè la fase di snervamento dura di più, saranno attraversati dall’onda ( almeno ) 24 piani anzichè i 16 inizialmente stimati.

Osserviamo anche che quest’onda di forza non solo deforma le colonne che attraversa ma trasporta energia trasferendo quantità di moto dal punto di impatto ai piani sottostanti.

Per il principio di conservazione della quantità di moto, dopo l’impatto dei 16 piani che cadono a 8,5 m/s avremo 17 piani che si muoveranno a ( dovendo rimanere il prodotto costante ).

In realtà questo modello è semplificato perchè non tiene conto della quantità di moto trasmessa ai piani al di sotto del punto di impatto.

Alla fine della fase di snervamento avremo 17 piani che si muovono ad una velocità V, il piano sottostante si muoverà più lentamente, quello successivo ancora meno fino all’ultimo piano interessato dall’onda che supponiamo rimanga praticamente statico.

Risolvendo nell’incognita V abbiamo :

da cui

V = 4,8 m/s

Appare evidente che questo trasferimento di quantità di moto ha come effetto quello di estendere la fase di snervamento delle colonne impattate e quindi la propagazione dell’onda avviene su un numero superiore di piani rispetto a quelli calcolati assumendo una velocità del blocco impattante pari a 8,5 m/s.

Calcoliamo la variazione di energia cinetica del blocco superiore prima e dopo l’impatto

E₂/E₁ = ( 17 * 4.8² ) / ( 16 * 8.5² ) = 0,34

Questo significa che almeno il 66% dell’energia cinetica iniziale viene assorbito dalla struttura durante l’impatto del blocco in caduta.

Il blocco possedeva al momento dell’urto una energia pari a 2,1 GJ; dopo l’urto ne viene assorbito il 66% ( che deformerà la struttura ) quindi l’energia cinetica si riduce a un terzo e cioè a circa 700 MJ.

Per avere un bilancio energetico più preciso dobbiamo aggiungere l’energia potenziale rilasciata dalla compressione delle colonne nei piani sottostanti; tale compressione è data dalla somma della compressione per snervamento delle colonne del piano impattato ( 11cm ) e della compressione elastica complessiva dei piani investiti dall’onda di carico ( circa 6cm )

ΔE_p = 58 * 10⁶ * g * ( 11 + 6 ) * 10^-2 = +95 MJ

L’energia di deformazione consumata dalle colonne del piano impattato, durante la fase elastica e quella di snervamento, può essere calcolata utilizzando la tensione di snervamento. Quella usata in questa analisi è derivata utilizzando la massa al di sopra della zona d’impatto, 58000 tonnellate, ed un fattore di sicurezza 4.

L’esame della geometria della colonna con riferimento alle equazioni di Eulero mostra che questa è una sottostima sia della tensione di snervamento che della deformazione da compiere prima della rottura, e questa è una grossa assunzione a favore della continuazione del crollo. Un fattore di 0,029 è stato incluso per modellare il profilo della tensione durante la fase di snervamento (del 3%)

Il profilo della tensione mostra una crescita lineare da zero sino alla tensione di snervamento allo 0,2% della lunghezza, seguita da una tensione costante per il restante 2,8% della lunghezza.

58 * 10⁶ Kg * 4 * g * 3.7m * 0.029 = -244 MJ

Un valore simile ma lievemente inferiore a questo sarebbe necessario per il primo piano del blocco superiore che colpisce i piani sottostanti. Dato che questo piano portava un carico inferiore, 15 piani, rispetto al piano colpito ( 17 piani ) le sue capacità di progetto sarebbero state proporzionalmente inferiori. Stimiamo l’energia consumata da questo piano pari a

244 * 15 / 17 = -215 MJ

La risposta elastica entro la capacità delle colonne del piano sottostante avrebbe richiesto ulteriore energia, assorbita sotto forma di energia di deformazione. Questa può essere stimata usando un coefficiente di sicurezza pari a 4, una massa di 58000 tonnellate, una distanza di 0.056 metri e un fattore pari a 0.5 per riflettere il profilo di tensione

58 * 10⁶Kg * 4 * g * 0.056m * 0.5 = -64 MJ

Il movimento verso il basso di questi piani in risposta all’impatto rilascerà altra energia potenziale dovuta alla loro compressione; usando le stesse deformazioni usate in precedenza e un valore di massa proporzionale al numero di piani, questa sarà

58 * 10⁶Kg * 24/16 * g * 0.056m / 2 = +24 MJ

Altre perdite di energia sono evidenti in un’analisi della compressione dei piani all’interno del blocco superiore in caduta. Questi piani, costruiti con colonne dotate di sezione inferiore rispetto a quelle colpite, sarebbero incapaci di sostenere il carico critico presente sul fronte di impatto e subirebbero deformazioni plastiche oltre il loro limite elastico, ma per semplicità assumiamo che subiscano solo la loro completa deformazione elastica. Questa è un’altra supposizione largamente favorevole al proseguimento del crollo. La deformazione totale sarebbe pari a 15 piani moltiplicati per la curvatura elastica di 7.4mm, e l’energia di deformazione consumata può essere stimata come

15 * 7,4 * 10^-3m * 4 * 58 * 10⁶Kg * g / 2 = -126 MJ

Il movimento dei piani nel blocco superiore rilascerà ulteriore energia potenziale dovuta alla loro compressione e al conseguente movimento. E’ verosimile che questa energia si manifesti sotto forma di cedimenti all’interno della sezione superiore, ciononostante è stata aggiunta come energia disponibile per il proseguimento del crollo. Il piano più in alto si muoverà verso il basso di 15 volte la deformazione elastica mentre quello più in basso resterà statico, entrambi rispetto al punto di impatto, fornendo ulteriore energia potenziale

15 * 7,4 * 10^-3m * 58 * 10⁶Kg * g / 2 = +32 MJ

Una considerevole quantità di energia sarebbe necessaria per polverizzare il calcestruzzo nella fine polvere che si può notare nelle fotografie e da altre fonti.

Per quantificare questa energia è necessario usare il valore di energia di frattura, ma questo è variabile in funzione, tra gli altri fattori, della dimensione del pezzo di calcestruzzo e della sua composizione, in particolare della granulometria degli inerti. Non c’è un valore tipico. Per stimare l’energia consumata mi riferirò al lavoro del Dr. Frank Greening [2]. Bisogna notare che Greening, come Bazant, non ha al momento sostenuto che il crollo della torre sia stato provocato da altro che dal danno dovuto all’impatto dell’aereo con successivi e conseguenti incendi.

La torre, usando i valori di Greening, conteneva approssimativamente 50000 tonnellate di calcestruzzo, e si suppone che solo il 10% di questo sia stato polverizzato ad una dimensione di 60 micrometri. Un kg di calcestruzzo con questa granulometria avrà una superficie di 67 m2. Possiamo ora usare il valore di Greening per l’energia di frattura del calcestruzzo, pari a 100 J/m2 per mostrare che l’energia richiesta per un piano sarebbe

50 * 10⁶ kg / 110 piani * 67 m² * 100 J/m² * 10% = -304 MJ.

Potrebbe essere considerato inverosimile che un impatto a bassa velocità possa impiegare grandi quantità di energia nella polverizzazione dei materiali, questo è più verosimile negli stadi successivi del crollo. Tuttavia, le vaste espulsioni di polvere sono state visivamente evidenti fin dall’inizio del crollo.

Un meccanismo d’attivazione che coinvolga una perdita totale ed istantanea di tutta la capacità portante su un piano, sufficiente a causare una caduta di 3.7m in piena accelerazione gravitazionale, seguito da un impatto “pulito” non è realistico. Questo lavoro è presentato per mostrare le quantità relative delle energie coinvolte. Questa analisi sottostima le richieste energetiche utilizzando un valore costante di velocità, pari alla velocità all’impatto, di 8.5 m/s. Questa è un’ipotesi in favore della continuazione del crollo. La presente analisi presume inoltre che ogni piano avesse la medesima massa. L’effetto di questa ipotesi è quello di sottostimare le perdite energetiche all’impatto. Non si è tenuto conto della massa che cade al di fuori del perimetro della torre, né soprattutto dell’espulsione di grandi quantità di polvere all’inizio del crollo o dell’energia richiesta per provocare lo spostamento di queste masse oltre il perimetro.

Questa analisi non considera l’energia consumata per danneggiare le travi di collegamento o altri elementi strutturali, per sconnettere i pavimenti dai supporti sulle colonne, per distruggere il contenuto dei piani o altro. Non si tiene conto di alcun dispendio di energia di deformazione durante la caduta iniziale per tutta l’altezza di un piano, nonostante questa sarebbe una porzione sostanziale dell’input energetico iniziale.

Il bilancio energetico del crollo diventa deficitario durante la fase di compressione plastica delle prime colonne colpite, mostrando che non ci sarebbe sufficiente energia disponibile, a partire dall’energia potenziale rilasciata dalla sezione superiore, per soddisfare tutte le richieste energetiche dell’impatto. L’analisi mostra che, nonostante le ipotesi fatte in favore della continuazione del crollo, il movimento verticale della sezione in caduta sarebbe stato arrestato prima del completamento della fase di compressione del 3% delle colonne colpite, ed entro circa 0.02 secondi dall’impatto. Senza le molteplici ipotesi fatte in favore della continuazione del crollo, il deficit energetico sarebbe molto più alto del valore ottenuto di -390 MJ.

Un crollo dovuto alla sola forza di gravità non sarebbe continuato oltre quel punto.

Bisogna comprendere che le perdite di energia alle quali ci si è riferiti come perdite di quantità di moto non possono essere riutilizzate come energia di deformazione o nell’energia richiesta per polverizzare i piani, riducendo pertanto la richiesta totale di energia. Questi trasferimenti di energia esisterebbero indipendentemente dallo stato di integrità dei piani dopo l’impatto e si manifesterebbero come calore nei materiali colpiti.

L’energia cinetica considerata è quella della massa impattante della sezione in caduta. C’è energia cinetica nei piani sottostanti che iniziano a muoversi, ma questa è stata persa dalla massa impattante. L’unica sorgente di energia disponibile per la massa in caduta è l’energia potenziale e, a meno che questa energia sia rilasciata tramite il crollo di ulteriori colonne, la massa in caduta si arresterebbe. Mentre l’onda di propagazione scende lungo la torre caricando altre colonne, l’energia si diffonderà attraverso i piani sottostanti come energia di deformazione elastica, che è riutilizzabile, al contrario di quella di deformazione plastica. Al decelerare della sezione superiore, la forza che essa è in grado di esercitare si ridurrà, e la curvatura elastica si ridurrà in risposta. Mentre questa si riduce, l’energia di deformazione elastica precedentemente assorbita dai piani inferiori si riconvertirà in energia potenziale. In altri termini si scaricherà, o verrà restituita. Le torri potevano essere ben descritte come una serie di molle e smorzatori, colpita da una grande ma relativamente lenta e meno sostanziale altra serie di molle e smorzatori.

In questa analisi il danno, a parte il piano rimosso per iniziare il crollo, è limitato al danno subìto dai due piani che si sono scontrati, e perfino questa semplificazione non è sufficiente a portare le colonne colpite attraverso la fase di snervamento fino alla fase di deformazione plastica che è caratterizzata ed accompagnata dall’insorgenza di punti di imbozzamento. Bisogna notare che questo concentra l’energia dell’impatto. In realtà molti dei piani più vicini al punto di impatto e specialmente quelli dotati di colonne con sezione minore nel blocco superiore in caduta avrebbero subìto una parte del danno ciascuno. Questo dissiperebbe ulteriormente l’energia in punti lontani dal fronte del crollo.

• [1] Journal of Engineering Mechanics ASCE
  • 9/13/01, Expanded 9/22/01, Appendices 9/28/01)
  • Why Did the World Trade Center Collapse? — Simple Analysis
  • Zdenek P. Bazant1, Fellow ASCE, and Yong Zhou

• [2] Energy transfer in the WTC collapse by F. R. Greening
  • Visionabile ai seguenti link:
    • 911myths.com : WTCREPORT.pdf
    • 911myths.com : Energy Transfer Addendum

L’autore di questo documento, Gordon Ross, è nato a Dundee, Scozia. Ha conseguito la laurea sia in Ingegneria Meccanica che in Ingegneria della produzione, laureandosi alla Liverpool John Moores University, nel 1984. Può essere contattato a gordonjross@yahoo.com.

Il documento originale è visionabile, in inglese, al sito Journal of 9/11 Studies

Basato sia sul documento originale che sulla traduzione a cura di Ege ed Ashoka di Luogocomune